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在数学运算中，“除”和“除以”是两个看似相似却截然不同的概念，它们分别代表了除法运算中的两种不同视角和表述方法，是数学基础中的核心概念其中一个，领会并掌握这两个概念，对于深入进修数学、化解实际难题具有重要意义。

见解

在数学进修的道路上，“除”和“除以”的混淆往往是初学者的一大障碍，很多人认为它们只是表述上的差异，但实际上，它们代表了除法运算中的主动和被动关系，是领会除法本质的决定因素，掌握这两个概念，不仅能帮助大家更准确地进行数学运算，还能提高大家的逻辑思考能力和难题化解能力。

工具/材料

- 纸笔：用于记录运算经过和结局。

- 计算器（可选）：用于验证运算结局的准确性。

- 数学教材或参考书：提供关于“除”和“除以”的详细解释和例题。

方式/流程

一、领会“除”的概念

“除”通常表示壹个数（被除数）被另壹个数（除数）所分，结局一个商，在这个经过中，“除”是主动的动作，它强调的是被除数被分割成几许份（即商），在表达式“10除2”中，10是被除数，2是除数，运算的结局是商5，表示10被2分成5份。

二、掌握“除以”的含义

和“除”不同，“除以”表示壹个数（被除数）主动地去除以另壹个数（除数），结局同样一个商，但在这个经过中，“除以”强调的是被除数主动进行分割的动作，在表达式“10除以2”中，虽然数值和结局和“10除2”相同，但语义上有所不同，它表示10主动地去被2分割，结局得到5份。

三、对比“除”和“除以”的异同

1、视角差异：“除”是从除数的角度出发，看被除数能被分成几许份；而“除以”则是从被除数的角度出发，看它能被除数分成几许份。

2、运算结局：在数值上，“除”和“除以”的结局是相同的，但在表述上有所不同，这反映了数学运算中的严谨性和准确性。

3、应用场景：在实际难题中，根据难题的描述选择合适的表述方法，当难题涉及“壹个数被另壹个数分成几许份”时，应运用“除”；而当难题涉及“壹个数主动地去除以另壹个数”时，则应运用“除以”。

四、通过实例加深领会

1、实例一：假设有12个苹果，要平均分给4个小兄弟，每个小兄弟能得到几许个苹果？

- 解析：这个难题可以表述为“12除4”或“12除以4”，从除数的角度看，就是4个小兄弟分12个苹果，每个小兄弟得到3个；从被除数的角度看，就是12个苹果主动地去分给4个小兄弟，每个小兄弟也是得到3个，无论是“除”还是“除以”，结局都是3。

2、实例二：壹个长方形的面积是36平方米，宽是4米，求长是几许米？

- 解析：这个难题可以转化为除法运算，已知面积是36平方米（被除数），宽是4米（除数），求长（商），这里应运用“除以”的表述方法，即“36除以4”，得到的结局是9米，即长方形的长。

五、练习和巩固

1、基础练习：列出一些简单的除法算式，分别用“除”和“除以”的表述方法写出，并计算其结局，通过对比不同表述方法下的运算结局，加深对“除”和“除以”的领会。

2、应用题练习：选择一些涉及除法运算的实际难题，如分配难题、比例难题等，尝试用“除”和“除以”的表述方法分别解答，并验证结局的正确性。

3、拓展练习：寻觅除法运算在其他数学领域（如分数、比例、百分比等）中的应用，以及在实际生活（如购物、烹饪等）中的体现，进一步拓宽视野和思考。

怎么样？经过上面的分析的进修和练习，相信你已经能够清晰地领会“除”和“除以”的概念及其在数学运算中的应用，数学是一门严谨的学科，每壹个细节都至关重要，掌握这些基础概念，将为你的数学进修之路打下坚实的基础。